数理解析学 A ・数理解析基礎講義 A 演習問題 No.11 （2024.5.16 出題）

 演習問題は http://www.math.sci.hiroshima-u.ac.jp/~takimoto/R6SuurikaisekiA.html にも置いてあります．

以下の問題は自習用の演習問題ですが，演習問題のいくつかを期末試験で出題するかもしれません．

[73] X をノルム空間とする． u ∈ X に対し，次を示せ．

∥u∥ = sup_{φ∈X^{∗}, ∥φ∥=1} |φ(u)| = sup_{φ∈X^{∗}, φ≠0} \frac{|φ(u)|}{∥φ∥}.

[74] X をノルム空間とし， M を X の部分空間とする． u ∈ X が d = inf_{v∈M} ∥u − v∥ > 0 を満たすとき，次の三つの条件を満たす φ ∈ X^{∗} が存在することを示せ．

(i) φ(v) = 0 (∀v ∈ M). (ii) φ(u) = 1. (iii) ∥φ∥ = \frac{1}{d}.

[75] （Minkowski functional） X をノルム空間とし， K を X の凸部分集合で 0 を内点に含むものとする．いま， u ∈ X に対し

p(u) = inf{α > 0 | [0, α^{−1}u] ⊂ K}

と定義する．ただし [u, v] = {(1 − t)u + tv | t ∈ [0, 1]} と定める．このとき，以下を示せ． (1) 0 ≤ p(u) < ∞ (∀u ∈ X).

(2) p(u + v) ≤ p(u) + p(v), p(cu) = cp(u) (∀u, v ∈ X, ∀c > 0).

(3) u が K の内点 ⟹ p(u) < 1.

(4) u が K の外点 ⟹ p(u) > 1.

(5) ∃c > 0 s.t. ∀u ∈ X, p(u) ≤ c∥u∥.

[76] X を ℂ-線形空間とする．関数 p_{1} : X → ℝ, p_{2} : X → ℝ が次を満たすと仮定する． (i) p_{j}(u) ≥ 0 (∀j ∈ {1, 2}, ∀u ∈ X) (ii) p_{j}(u + v) ≤ p_{j}(u) + p_{j}(v) (∀j ∈ {1, 2}, ∀u, v ∈ X) (iii) p_{j}(cu) = |c|p_{j}(u) (∀j ∈ {1, 2}, ∀c ∈ ℂ, ∀u ∈ X)

さらに， ℂ-線形な関数 φ : X → ℂ が存在して， |φ(u)| ≤ p_{1}(u) + p_{2}(u) (∀u ∈ X) が成り立つと仮定する．このとき，ある ℂ-線形な関数 φ_{1} : X → ℂ, φ_{2} : X → ℂ が存在して， |φ_{j}(u)| ≤ p_{j}(u) (∀j ∈ {1, 2}, ∀u ∈ X) かつ φ(u) = φ_{1}(u) + φ_{2}(u) (∀u ∈ X) となることを証明せよ．