数理解析学 A ・数理解析基礎講義 A 演習問題 No.10 （2024.5.14 出題）

 演習問題は http://www.math.sci.hiroshima-u.ac.jp/~takimoto/R6SuurikaisekiA.html にも置いてあります．

以下の問題は自習用の演習問題ですが，演習問題のいくつかを期末試験で出題するかもしれません．

[67] X を複素ノルム空間とする．（有界とは限らない）線形汎関数 φ : X → ℂ に対して， N(φ) = {u ∈ X | φ(u) = 0} と定義する．

(1) N(φ) ≠ X とし， u_{0} ∉ N(φ) を取る．このとき，任意の u ∈ X は u = cu_{0} + v （ただし c ∈ ℂ, v ∈ N(φ)）の形に一意的に表せることを示せ．

(2) Y (≠ X) を X の部分空間とし， u_{0} ∉ Y を取る．いま，任意の u ∈ X が u = cu_{0} + v （ただし c ∈ ℂ, v ∈ Y ）の形に一意的に表せると仮定する．このとき，ある線形汎関数 φ が存在して Y = N(φ) となることを示せ．

[68] φ をノルム空間 X 上の線形汎関数とし， N(φ) = {u ∈ X | φ(u) = 0} と定義する．このとき， φ が有界線形汎関数であるための必要十分条件は， N が X の閉集合であることを示せ．

[69] 講義でやり残した，次の事実を証明せよ．

「φ ∈ (ℓ^{1})^{∗} ⟹ ∃y = (y_{n}) ∈ ℓ^{∞} s.t. φ(x) = ∑_{n=1}^{∞} x_{n}y_{n} (∀x = (x_{n}) ∈ ℓ^{1}).」

[70] X を Banach 空間とする． Y を X の部分空間とするとき，

Y^{⊥} := {φ ∈ X^{∗} | φ(v) = 0 (∀v ∈ Y)}

と定義する．さらに， Z を X^{∗} の部分空間とするとき，

Z^{⊥} := {u ∈ X | φ(u) = 0 (∀φ ∈ Z)}

と定義する．このとき，次を示せ．ただし\overline{Y} は Y の閉包である． (1) Y^{⊥} は X^{∗} の部分空間である． (2) (Y^{⊥})^{⊥} = \overline{Y} ．

(3) Y が X の閉部分空間であれば， Y^{∗} と X^{∗}/Y^{⊥} は同型である．

[71] X を複素ノルム空間とする．このとき，次を示せ． (1) Y を X の部分空間とし， φ ∈ Y^{∗} とする．このとき， Φ ∈ X^{∗} で次の 2 つの条件を

みたすものが存在する：

(i) Φ(v) = φ(v) (∀v ∈ Y), (ii) ∥Φ∥ = ∥φ∥ (= sup_{∥v∥≤1,v∈Y} |φ(v)|).

(2) u ∈ X とする．任意の φ ∈ X^{∗} に対して φ(u) = 0 ならば， u = 0．

(3) u, v ∈ X とする． u ≠ v ならば， φ(u) ≠ φ(v) となる φ ∈ X^{∗} が存在する．

[72] X をノルム空間とし， X_{0} を X で稠密な部分空間とする．このとき， X^{∗} と X_{0}^{∗} は Banach 空間として同型であることを示せ．