数理解析学 A ・数理解析基礎講義 A 演習問題 No.1 （2024.4.9 出題）

演習問題は http://www.math.sci.hiroshima-u.ac.jp/~takimoto/R6SuurikaisekiA.html にも置いてあります．

以下の問題は自習用の演習問題ですが，演習問題のいくつかを後日レポート問題に指定するかもしれません．

[1] X を ℂ 上の線形空間とするとき，次を示せ．

(1) 「任意の u ∈ X に対して u + θ = u」を満たす θ ∈ X はただ一つである．（この θ を X の零元と呼ぶ．以下 θ を 0 と表記する．）

(2) 任意の u ∈ X に対して， u + u′ = 0 を満たす u′ ∈ X はただ一つである．（この u′ を u の逆元と呼ぶ．以下 u′ を −u と表記する．）

(3) α ∈ ℂ, u ∈ X ⟹ (−α)u = −(αu).

(4) 任意の α ∈ ℂ に対し α0 = 0. （0 は X の零元）

(5) 任意の u ∈ X に対し 0u = 0. （左辺の 0 は ℂ の元としての 0，右辺の 0 は X の零元）

(6) α ∈ ℂ, u ∈ X に対し， αu = 0 ならば「α = 0 または u = 0」．

[2] X = {(a_{n})_{n=1}^{∞} | a_{n} ∈ ℂ (∀n ∈ ℕ) かつ lim_{n→∞} a_{n} が存在する} とする（即ち， X は収束する複素数列全体）． (a_{n})_{n=1}^{∞}, (b_{n})_{n=1}^{∞} ∈ X, c ∈ ℂ に対し， X における和とスカラー積を

(a_{n})_{n=1}^{∞} + (b_{n})_{n=1}^{∞} = (a_{n} + b_{n})_{n=1}^{∞}, c(a_{n})_{n=1}^{∞} = (ca_{n})_{n=1}^{∞}

と定義する．

(1) X は ℂ 上の線形空間であることを示せ．

（ほとんどが自明であるわけですが，ちゃんと確かめなきゃいけないことは何？）

(2) X の零元は何か？（答だけで良い）

(3) X の次元を答えよ．

[3] n ∈ ℕ とする．線形空間 X に対して，次の (i), (ii) が同値であることを証明せよ．

(i) dim X = n. (ii) 一次独立な n 個の X の元 u_{1}, u_{2}, …, u_{n} が存在して，任意の u ∈ X は u = α_{1}u_{1} +

α_{2}u_{2} + ⋯ + α_{n}u_{n} (α_{1}, α_{2}, …, α_{n} ∈ ℂ) の形に\underline{一意的に}表すことができる．

[4] X を線形空間， S を X の空でない部分集合とする． M を， S の有限個の元の一次結合全体からなる集合，即ち

M = {α_{1}u_{1} + α_{2}u_{2} + ⋯ + α_{m}u_{m} | m ∈ ℕ, α_{k} ∈ ℂ, u_{k} ∈ S (k = 1, …, m)}

とおく．このとき， M は S を含む最小の部分空間であることを示せ^{1}．

（ヒント：示すべきことは次の三つです：

• M は X の部分空間． • M ⊃ S.

• N が S を含む部分空間であるならば N ⊃ M である．）

（裏に続く） [5] (X, ∥ · ∥) をノルム空間， (u_{n}), (v_{n}) ⊂ X, u, v ∈ X, (α_{n}) ⊂ ℂ, α ∈ ℂ とする．次を示せ．

1この M を S が生成する部分空間，または S が張る部分空間と呼びます．

(1) u_{n} → u, v_{n} → v (n → ∞) ⟹ u_{n} + v_{n} → u + v (n → ∞).

(2) α_{n} → α, u_{n} → u (n → ∞) ⟹ α_{n}u_{n} → αu (n → ∞).

[6] x = (x_{1}, …, x_{N}) ∈ ℂ^{N} に対して ∥x∥_{1} = |x_{1}| + ⋯ + |x_{N}|, ∥x∥_{2} = \sqrt{|x_{1}|^{2} + ⋯ + |x_{N}|^{2}}, ∥x∥_{∞} = max\{|x_{1}|, …, |x_{N}|\} と定義する．

(1) ∥ · ∥_{1} と ∥ · ∥_{2} が同値なノルムであることを示せ．（ヒント： Cauchy-Schwarz の不等式） (2) ∥ · ∥_{2} と ∥ · ∥_{∞} が同値なノルムであることを示せ．

[7] X を線形空間， | · |, ∥ · ∥, ||| · ||| を X 上のノルムとする．もし | · | と ∥ · ∥ が同値，かつ ∥ · ∥ と ||| · ||| が同値ならば， | · | と ||| · ||| も同値であることを示せ．

（線形空間 X 上のノルム同士が「同値である」という関係は，同値関係であることが示される^{2}）

[8] 複素係数の多項式全体の集合を P とする（講義の記号を使えば P := ⋃_{N=1}^{∞} P_{N}）．いま， f ∈ P が f(x) = a_{0} + a_{1}x + ⋯ + a_{k}x^{k} (k ∈ ℕ ∪ {0}, a_{0}, a_{1}, …, a_{k} ∈ ℂ) と表されたとき，

∥f∥ = |a_{0}| + |a_{1}| + ⋯ + |a_{k}|, |||f||| = max{|a_{0}|, |a_{1}|, …, |a_{k}|}

と定義する． (1) ∥ · ∥ と ||| · ||| はともに P 上のノルムであることを示せ．

(2) ∥ · ∥ と ||| · ||| は同値ではないことを示せ．

2まあ，文字通りではあるのですが，当然証明は必要なわけです．