写像の微分とベクトル場の積分



西 村 尚 史


(横浜国立大学教育人間科学部)

$C^\infty$ 級写像たちの局所的様相を比較したい． 局所的考察なので，

対象は， $C^\infty$ 級写像芽 $f,g : ({\bf R}^n,0)\to ({\bf R}^p,0)$

であり，比較に使う

同値関係は， 適当な $C^\infty$ 級座標変換により一致する，すなわち，
$\exists\; C^\infty \mbox{ 級微分同相芽 } s : ({\bf R}^n,0)\to ({\bf R}^n,0), t : ({\bf R}^p,0)\to ({\bf R}^p,0)$
$\mbox{ such that } f\circ s(x) = t\circ g(x)$

であるとする．この同値関係は ${\cal A}$-同値（あるいは，右左同値） と呼ばれる． 次の基本的問題（recognition problem と呼ばれる）を考える．

[問題]     与えられた二つの $C^\infty$ 級写像芽 が ${\cal A}$-同値かどうか 判定せよ．

どちらか一方の写像芽（の原点におけるヤコビ行列） がフルランクであれば完全に決定できる，ということが陰関数の定理から わかるし，どちらか一方の写像芽が線形であれば完全に決定できる， ということが階数定理(rank theorem)からわかる．しかし，これらの場合を除外し， どちらの写像芽も非線形であり，しかも，原点が特異点となっている場合 に対しては，成熟した感のある「可微分写像の特異点論」と言えど， 特別な場合を除き，有効な方法を用意していなかった と言える．

この講演では，上記の問題に対し肯定的解答を与える， 初等的かつ構成的（従って計算が比較的容易）であり，しかも， 統一的な判定法を具体例付きで紹介する．

詳細はすべて以下に説明してあるので，もしも興味を持っていただけたら こちらをお読み下さい．

T. Nishimura, Criteria for right-left equivalence of smooth map-germs, Topology, 40(2001), 433-462.