無題

ニュートン法と複素力学系

宍倉光広
広島大学大学院理学研究科

多項式 $P(x)=a_dx^d+\dots+a_1x+a_0$ の根を数値計算により求めるための方法として，ニュートン法は古くから知られている．具体的には，適当に初期値 x₀ をとり，数列 $\{x_n\}$ を

$\begin{displaymath}x_{n+1}=x_n - \frac {P(x_n)}{P'(x_n)} \end{displaymath}$

で定める．そしてこの数列が P(x) のどれかの根に収束することを期待するのである．実際，根の近くの初期値から出発すれば，数列 $\{x_n\}$ はその根に収束することが知られている．それでは，根がどこにあるかを知らずに適当に初期値を定めてニュートン法を行うとき，いつでも根を見つけることができるのだろうか？また，どれくらいの確率，あるいは効率で見つけることができるのだろうか？これらの問題を複素力学系の立場から考察する．

まず，ニュートン法は，有理関数

$\begin{displaymath}N_P(z)=z - \frac {P(z)}{P'(z)} \end{displaymath}$

がリーマン球面上定義する複素力学系と見なすことができる．そして，P(z) の根 $\alpha_1, \dots , \alpha_d$ は N_P の吸引的不動点となる．（ $\alpha_i$ が重根でなければ超吸引的である．）ニュートン法による上記の数列（すなわち， N_P の軌道）が $\alpha_i$ に収束するような初期値の全体は $\alpha_i$ の吸引鉢 $A(\alpha_i)$ と呼ばれる．ニュートン法が失敗するような初期値の集合は $K(N_P)=\mathbb C - \cup A(\alpha_i)$ である．例えば，N_P が P の根以外の吸引的周期点をもつ場合は K(N_P) が内点を含み，そのルベーグ測度は正となる． K(N_P) のルベーグ測度が正となる N_P の特徴付けはまだ未解決の問題である． $\partial A(\alpha_1)=\dots=\partial A(\alpha_d)=\partial K(N_P)$ は N_Pのジュリア集合 J(N_P) である．３次多項式 $P_c(z)=(z-1)(z+1)(z-\frac 1c)$ に対するニュートン法 N_{P_c} のジュリア集合およびパラメータ空間の図も紹介する予定である．

複素力学系的手法の応用として，次を示すことができる．

Theorem 1 ニュートン法 N_P のジュリア集合 J(N_P) は連結である．したがって， $\hat \mathbb C-J(N_P)$ の各連結成分，特に根 $\alpha_i$ の吸引鉢 $A(\alpha_i)$ の各連結成分は単連結である．

証明は擬等角写像の理論を用いて複素力学系の手術を行うことによって得られる．この定理を用いて，ManningやSutherlandは，ニュートン法で根を見つけるために必要な初期値の個数や計算回数の評価を導いた．

この文書について...

Tohru Okuzono 平成12年5月26日