結び目は３次元空間（３次元球面または３次元ユークリッド空間）に埋め込まれた１ 次元球面であり，二つの結び目が全同位で移りあうときにそれらは同値であると定義 する．結び目理論は二つの結び目がいつ同値となるかを決定することがテーマである といってよい．そのため，これまで様々な不変量が構成され研究されてきた．とく に，クローバー結び目とその鏡像が同値でないことを判定できるJones多項式は有名 である．残念ながら２次元結び目や曲面結び目（４次元空間に埋め込まれた２次元球 面や連結閉曲面）についてはこのような不変量はほとんど知られていない．この講演 ではカンドルホモロジー（コホモロジー）を用いた多項式不変量を紹介する．
カンドルは次の性質（公理）をみたす２項演算をもつ集合である．
I 任意のa に対し，
II 任意の b, c に対し, 
をみたすaが唯一存在
III 任意のa, b, c に対し，
これらの性質はすべて結び目のライデマイスター変型と呼ばれる３つの基本操作に対 応している．
カンドルホモロジー（コホモロジー）の概念はカンドルを利用して結び目の不変量を 構成しようと考えるときに自然に現れる．この観点からカンドルホモロジーを紹介す る． また，これを用いれば結び目（２次元結び目も含む）のステイト和不変量を定義する ことができる．これは，カンドル，係数環，カンドルコサイクルを固定するごとに多 項式不変量が得られる．驚くことに，この多項式不変量はクローバー結び目とその鏡 像が同値でないことを判定できる．また，クローバー結び目の２重ツイストスパンと 呼ばれる２次元結び目とその向きを逆転した２次元結び目が同値でないことも示すこ とができる．
この講演の内容はJ. S. Carter, D. Jelsovsky, S. Kamada, L. Langford, M. Saito による共同研究，および，C. P. Rourke, B. J. Sandersonによる研究をもとにして いる．
J. S. Carter, D. Jelsovsky, S. Kamada, L. Langford and M. Saito, State-sum invariants of knotted curves and surfaces from quandle cohomology, Electron. Res. Announc. Amer. Math. Soc. 5 (1999) 146-156
J. S. Carter, D. Jelsovsky, S. Kamada, L. Langford and M. Saito, Quandle cohomology and state-sum invariants of knotted curves and surfaces, preprint (available at http://xxx.lanl.gov/abs/math.GT/9903135) 1998