無題

対称マルコフ半群のスペクトル半径の L^p-独立性

東北大理竹田雅好

${\bf M}=(\Omega,X_t,P_x,\zeta)$ を局所コンパクト可分距離空間 X 上の m-対称なマルコフ過程とする. ここで, $\zeta$ は ${\bf M}$ の生存時間, m は台が X となる正のラドン測度とする. $\{p_t\}_{t\geq 0}$ と $\{R_{\alpha}\}_{\alpha>0}$ をそれぞれ ${\bf M}$ の作る半群とリゾルベントとする. すなわち, p_tf(x)=E_x(f(X_t)), $R_{\alpha}f(x)=E_x(\int_0^{\infty}e^{-\alpha t}f(X_t)dt)$ . そこで, 対称マルコフ過程 ${\bf M}$ に対して次の４つの仮定を置く.

I. (既約性) ボレル集合 A が p_t-不変, すなわち, 任意の $f\in L^2(X;m)\cap{\mathcal B}_b(X)$ と t>0 に対して, p_t(I_Af)(x)=I_Ap_tf(x) m-a.e. が成り立つならば, A は m(A)=0 か $m(X\setminus A)=0$ を満たす. ここに, ${\mathcal B}_b(X)$ は有界ボレル関数の空間.

II. ${\bf M}$ の推移確率 p_t(x,dy) は m に関して絶対連続, p_t(x,dy)=p_t(x,y)m(dy).

III. $p_t(C_{\infty}(X))\subset C_{\infty}(X)$ . ここに, $C_{\infty}(X)$ は無限遠点で零となる連続関数の空間.

IV. $R_11(x)\in C_{\infty}(X)$ .

以上の仮定の下, Donsker-Varadhan 型の大偏差原理を用いて, 生存時間 $\zeta$ に関する次の公式が示せる：

$\begin{displaymath}\lim_{t\to\infty}{1\over t}\log \sup_{x\in X} P_x(t<\zeta) =-... ...{{\mathcal E}(u,u): u\in{\mathcal F},\ \int_Xu^2dm=1\right\}. \end{displaymath}$

(1)

ここに, $({\mathcal E},{\mathcal F})$ は ${\bf M}$ の生成するディリクレ形式と呼ばれるものである. いま,半群 p_tf(x) の L^p(X;m) 空間上の作用素としてのスペクトル半径を $\lambda_p$ で表わす:

$\begin{displaymath}\lambda_p=-\lim_{t\to\infty}{1\over t}\log\Vert p_t\Vert _{p,p}, \quad 1\leq p\leq\infty. \end{displaymath}$

その時, (1) は $\lambda_{\infty}=\lambda_2$ を意味し, 結果として $\lambda_p$ は p に依らないことがわかる.

ブラウン運動のあるクラスの時間変更過程に対しては, 仮定の I $\sim$ IV を満たすことが示せ, その応用としてファインマンーカッツ汎関数の可積分性について調べることができる.

この文書について...

Tohru Okuzono 平成11年10月18日