結晶基底の多面体表示について

中島 俊樹 上智大学理工学部数学科

I は finite index set (simple root の index set) とし、 $(a_{i,j})_{i,j\in I}$ は symmetrizable GCM、 $\hbox{\germ g}$ はそれに 付随して決まる Kac-Moody Lie algebra、 $\{\alpha_i\}_{i\in I}$ は simple roots, $\{h_i\}_{i\in I}$ は coroots とし、 $a_{i,j}=\langle h_i,\alpha_j\rangle$を満たすものとする。 P は weight lattice P^* は dual weight latticeとする。 量子群 $U_q(\hbox{\germ g})$ は e_i, $f_i(i\in I)$, $q^h(h\in P^*)$ で生成される $\hbox{\bf Q}(q)$-algebra とする。 ここで、次のような４種類の crystal (base) を取り扱う： (1) $R_{\lambda}:=\{r_{\lambda}\}$ ( $\lambda\in P$), (2) $B_i:=\{(n)_i\,\vert\, n\in\hbox{\bf Z}\}$ ($i\in I$), (3) $U^-_q(\hbox{\germ g})$ の crystal base $(L(\infty),B(\infty))$, (4) 既約 highest weight module $V(\lambda)$ の crystal base $(L(\lambda),B(\lambda))$.

(4) の $B(\lambda)$ を具体的に記述することを目指す。 さて、任意の $i\in I$ に対して次のような crystal の embedding が唯一つ存在する： $\Psi_i : B(\infty)\hookrightarrow B(\infty)\otimes B_i,$ $(u_{\infty} \mapsto u_{\infty}\otimes(0)_i).$index の 無限列 $\iota=\cdots,i_k,i_{k-1},\cdots,i_2,i_1$ は どの index の元も無限個含むものとして、 この無限列に従って上の embedding を iterate して、 次の crystal の strict embedding (Kashiwara embedding) を得る：

$$\Psi_{\iota}:B(\infty)\hookrightarrow \hbox{\bf Z}^{\infty} :... ...n\hbox{\bf Z} \,\,{\rm and}\,\,a_k=0\,\,{\rm for}\,\,k\gg 0\},$$

さらに、次のような crystal の strict embedding が存在する： $\Phi_{\lambda}:B(\lambda)\hookrightarrow B(\infty)\otimes R_{\lambda}.$これら２つの embedding を合成して次を得る：

$$\Psi^{(\lambda)}_{\iota}:=(\Psi_{\iota}\otimes{\rm id})\circ ... ...}^{\infty}\otimes R_{\lambda}=:\hbox{\bf Z}^{\infty}[\lambda].$$

そこで、この embedding による $B(\lambda)$ の exact な image を 以下のようにして記述してみる。 $\hbox{\bf Q}^{\infty}$ を次のような infinite dimensional vector space とする：

$$\hbox{\bf Q}^{\infty}:=\{\vec{x}= (\cdots,x_k,\cdots,x_2,x_1)... ...\hbox{\bf Q}\,\,{\rm and }\,\, x_l=0\,\,{\rm for}\,\, l\gg0\}.$$

すると、 $\hbox{\bf Z}^{\infty}[\lambda]$ は $\hbox{\bf Q}^{\infty}$ の lattice point 全体と同一視される。 ここで上のような無限列 $\iota=(i_k)_{k\geq1}$ を fix しておく。 $k\geq1$ に対して k⁽⁺⁾ を l>k で i_l=i_k となる最小のもの、 k^(-) を l<k で i_l=i_k となる最大のものか、存在しないときは k 自身とする。 無限列 $\iota=(i_k)$ に対して 次のような $\hbox{\bf Q}^{\infty}$ 上の linear form を考える：

$$\begin{eqnarray*}\beta^{(+)}_k(\vec{ x}) & := & x_k+\sum_{k<j<k^{(+)}} \langle h... ...angle h_{i_k},\alpha_{i_j}\rangle x_j+x_k& if $k=k^{(-)}$ . \cr} \end{eqnarray*}$$

ここで次のような piecewise linenar operator を定義する： $k\geq1$ と linear form $\varphi(\vec{x})=c+\sum_j\varphi_jx_j$ ( $c,\,\varphi_j\in \hbox{\bf Q}$) に対して

$$S_k\,\varphi(\vec{x}):=\cases{ \varphi(\vec{x})-\varphi_k\bet... ...{x})-\varphi_k\beta^{(-)}_k(\vec x) & if $\varphi_i\leq 0$\cr}$$

とする。 $j\in I$ に対して、 $k_j\in\hbox{\bf Z}_{\geq1}$ を i_k=j を満たす最小の番号 k とする。 ここで、$i\in I$ に対して $\lambda^{(i)}(\vec x):=-\beta^{(-)}_{k_i}(\vec x)$とおく。

無限列 $\iota=(i_k)$ に対して

$$\begin{eqnarray*}\Xi_{\iota}[\lambda] &:= & \{S_{j_l}\cdots S_{j_1}x_{j_0}\vert ... ...geq0 \,\,{\rm for\,\, any }\,\,\varphi\in \Xi_{\iota}[\lambda]\} \end{eqnarray*}$$

とおく。 embedding $\Psi_{\iota}^{(\lambda)}$ の exact な image $\Psi_{\iota}^{(\lambda)}(B(\lambda))$ が次のように記述される： Theorem. $\Sigma_{\iota}[\lambda]\ni\vec 0=(\cdots,0,0)$ ならば、 $\Psi_{\iota}^{(\lambda)}(B(\lambda))=\Sigma_{\iota}[\lambda]$ である。

ここで $\Sigma_{\iota}[\lambda]$ を $\iota$ に付随した $B(\lambda)$ の polyhedral realization (多面体表示)と呼ぶ。 現在、任意の rank 2 の Kac-Moody algebra, $\hbox{\germ sl}_n$, $\widehat{\hbox{\germ sl}}_n$ などに対して、 $\Sigma_{\iota}[\lambda]$ がわかっている。

実は、$\iota$ の取り方によっては 上の方法が 適用できないものがあることが、わかっている。 そこで、少なくともsemi-simple の場合に、この問題を 回避することを 可能にするものが、braid-type isomorphism である。 これは、上の B_i と B_j ($i,j\in I$) について $\langle h_i,\alpha_j\rangle\langle h_j,\alpha_i\rangle\leq 3$という条件(つまり、rank 2 の finite type) のもとで、 $B_i\otimes B_j\otimes\cdots\cong B_j\otimes B_i\otimes\cdots$という同型が存在していることを保証し、$\iota$を自由にならべかえることを可能にする。これによって、 semi-simple の場合は $\Psi^{(\lambda)}_{\iota}$の image が対応する Weyl 群の最長元の長さを rank にもつ finite $\hbox{\bf Z}$-lattice の中で得られることもわかるのである (そのとき、$\iota$ も最長元のある最短表示に対応している)。

また最近、多面体表示と Demazure module や extremal vector といったものとの関連も見出された。