無題

パーコレーション・無限粒子系の相転移現象と共存－非共存

今野紀雄（横浜国立大学工学部）

本講演は３つのパートに分けられる．

最初のパートは，今回の談話会の導入として，ビデオ¹⁾を用い，２次元ボンドパーコレーションと侵入型（インヴェージョン）パーコレーションについて簡単に紹介する.

次のパートが本講演のメインパートであるが，ここで紹介する確率モデルは「Domany-Kinzelモデル」²⁾と呼ばれるものである．このモデルは，以下で記述される１次元離散時間マルコフ過程であり， $\xi^A_n$ を $A \subset 2{\bf Z}$ から出発したときの時刻 nにおける粒子の集合とすると、時間発展は

(i) $P( x \in \xi^A _{n+1} \vert \xi^A _n ) = f ( \vert\xi^A _n \cap \{x-1,x+1\}\vert)$ ，

(ii) $\xi^A_n$ が与えられたとき， $\{ x \in \xi^A _{n+1} \}$ は独立，但し，

$\begin{displaymath}f(0)=0, \qquad f(1)=p, \qquad f(2)=q \quad \quad (0 \le p,q \le 1). \end{displaymath}$

で定義される．従って，このモデルは $S= \{ s=(x,n)\in {\bf Z}\times {\bf Z}_+: x+n= \hbox{偶数} \}$ 上で考えることが出来る．ここで， ${\bf Z}_+= \{0,1,2, \ldots\}$ ．特に， q = 2p - p²のときは，方向性のあるボンド・パーコレーションに， q = pのときは，方向性のあるサイト・パーコレーションに一致する．このDomany-Kinzel モデルに関する参考文献として，例えば Durrett³⁾の第５章を参照のこと．原点から出発した $\xi_n ^o$ に対する粒子の生存確率を $\theta (p,q)$ とおく．即ち，

$\begin{displaymath}\theta (p,q) = \lim_{n \to \infty} P ( \xi^o _n \ne \phi \> ) \end{displaymath}$

さらに， $q \in [0,1]$ を固定したときの臨界確率 p_c (q) を以下で定義する：

$\begin{displaymath}p_c (q) = \inf \{ p \in [0,1] : \theta (p,q) > 0 \}\end{displaymath}$

現在この臨界線 $(p_c (q),q) (q \in [0,1])$ は厳密に求められていないが，様々な評価や部分的な結果は得られている．このパートでは，それらに関して，我々の研究の結果や予想をまじえながら紹介したい．

時間があれば，最後のパートでは，植生遷移モデル⁴⁾の共存と非共存の関係を，シミュレーションを見て頂きながら，幾つかの知られている結果と予想問題についてお話したい．

参考文献

1): 古賀祐次 (1999). パーコレーションモデルのＣＧ表現.
2): Domany, E. and Kinzel, W. (1984). Equivalence of cellular automata to Ising models and directed percolation. Phys. Rev. Lett. $\>$ 53, 311-314.
3): Durrett, R. (1988). Lecture Notes on Particle Systems and Percolation Wadsworth, Inc., California.
4): Sato, K. and Konno, N. (1995). Successional dynamical models on the 2-dimensional lattice space. J. Phys. Soc. Jpn. $\>$ 64, 1866-1869.

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Tohru Okuzono 平成11年11月29日